aditya wisnu wardhana

Rabu, 31 Oktober 2012

BILANGAN ASLI

Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif

10 angka pertama adalah (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)

BILANGAN CACAH

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0.Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif
10 angka pertama bilangan cacah adalah (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

BILANGAN GENAP
Bilangan yang terdiri dari angka yang genap contoh (2,4,6) dan itu bilangan itu juga terdiri bilanagan asli di mulai dari angka 2 setelah tu di tambah 2
10 angka pertama bilngan genap (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20)

BILANGAN GANJIL
Bilangan yang terdiri dari bilangan ganjil contoh (1,3,5) dan bilangan iu terdiri dari bilangan asli dan di mulai dari anka 1 setelah itu di tambah 2
10 angka pertama bilangan ganjil (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)

BILANGAN PRIMA

Merupakan bilangan asli yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu, jadi bisa dikatakan bilangan prima hanya mempunyai 2 faktor, misalnya : 2,3,5,7,11,…..

10 angka pertama bilangan prima adalah(1,3,5,7,11,13,17,19,23,29)

BILANGAN KOMPOSIT

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit yang pertama adalah . Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.

10 angka pertama bilanagan komposit 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18

BILANGAN PERSEGI

bilangan persegi: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ….
Mengapa disebut pola bilangan persegi? Perhatikan pola bilangan pada gambar berikut.

Pola bilangan tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut:

Ternyata banyaknya titik yang membentuk barisan persegi tersebut sama dengan cara mencari luas sebuah persegi, yaitu sisi x sisi. Maka untuk bilangan kesembilan dari pola tersebut adalah 81, didapat dari 9 x 9 = 81.

Jadi, rumus untuk mencari bilangan ke-n dari pola bilangan persegi adalah

rumus bilangan persegi adalah N x N = N²

10 angka pertama pada bilangan persegi (1,4,9,16,25,36,49,64,64,100)

BILANGAN SEGITIGA

Kenapa sih disebut pola bilangan segitiga? Hmmm, kenapa yah? coba dech perhatikan kalo bilangan diatas disusun akan menjadi seperti ini:

Pola bilangan tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut:

Jadi, rumus untuk mencari bilangan ke-n dari pola bilangan segitiga adalah

1/2 n(n + 1)

10 angka pertama bilangan segitiga adalah (1,3,6,10,15,21,28,36,45,55)
Selesai pak !!!!!!!!!!!!!!!!!

TRANSFORMASI

Sifat - sifat dari masing" bab pada transformasi
• TRANSLASI (Pergeseran sejajar)
Sifat
• Dua buah translasi berturut-turut (a) diteruskan dengan (b) dapat digantikan dengan (c) translasi tunggal (a + c) (d) (b + d) • Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.

   • REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis)

SIFAT-SIFAT Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1
a.   Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
b.    Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat: o Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan. o Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan     rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
d.    Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan   menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat: o Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran. o Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan. o Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

• ROTASI (Perputaran dengan pusat 0)
SIFAT-SIFAT Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1
a. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
b. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya. Catatan: Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
• DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0)
Ket.: (0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k. Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:
a. k > 1 -> A' terletak pada perpanjangan OA
b. 0 < k < 1 -> A' terletak di antara O dan A
c. k > 0 -> A' terletak pada perpanjangan AO
Sifat :
• berdasarkan atas faktor skala yang disimbolkan dengan "k" • apabila k : -1 < k< 0 maka garis tersebut di perkecil dengan arah berlawanan • apabila k : k < -1 maka garis tersebut diperbesar dengan arah berlawanan • apabila k bernilai + maka garis tersebut diperbesar searah •

Rabu, 05 September 2012

Senin, 13 Agustus 2012

RUMUS INTEGRAL

Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

$Description: \int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $Description: \int \ln x \,dx\,$

$Description: f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\,$

Gunakan rumus di atas

$Description: \int \ln x\ dx = x ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\,$

$Description: = x ln x - \int 1\,dx\,$

$Description: = x ln x - x + C\,$

Substitusi trigonometri

Bentuk	Gunakan $Description: x = \frac{a}{b}\sin \alpha\,$
$Description: \sqrt{a^2-b^2x^2}\,$
$Description: \sqrt{a^2+b^2x^2}\,$	$Description: \!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\,$
$Description: \sqrt{b^2x^2-a^2}\,$	$Description: \, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\,$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $Description: \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$Description: x = 2 \tan A, dx = 2 \sec^2 A\,dA\,$

$Description: \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$Description: = \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{(2 tan A)^2\sqrt{4 + (2 tan A)^2}}\,$

$Description: = \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 + 4 tan^2A}}\,$

$Description: = \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4(1+tan^2A)}}\,$

$Description: = \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 sec^2A}}\,$

$Description: = \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A.2sec A}\,$

$Description: = \int \frac {sec A\,dA}{4 tan^2A}\,$

$Description: = \frac {1}{4}\int \frac {secA\,dA}{tan^2A}\,$

$Description: = \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

Cari nilai dari: $Description: \int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$ dengan menggunakan substitusi

$Description: t = sin A, dt = cos A\,dA\,$

$Description: \int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$Description: = \int \frac{dt}{t^2}\,$

$Description: = \int t^{-2}\,dt\,$

$Description: = -t^{-1} + C= -\frac{1}{sin A} + C\,$

Masukkan nilai tersebut:

$Description: = \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$Description: = \frac {1}{4}.-\frac{1}{sin A} + C\,$

$Description: = -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

Nilai sin A adalah $Description: \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$

$Description: = -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

$Description: = -\frac {\sqrt{x^2+4}}{4x} + C\,$

Integrasi pecahan parsial

Contoh soal:

Cari nilai dari: $Description: \int\frac{dx}{x^2-4}\,$

$Description: \frac{1}{x^2-4} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2}\,$

Akan diperoleh dua persamaan yaitu dan $Description: A-B = -\frac{1}{2}$

Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil $Description: A = -\frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}\,$

$Description: \int\frac{dx}{x^2-4}\,$

$Description: = \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x-2} - \frac {1}{x+2})\,dx\,$

$Description: = \frac{1}{4} (ln|x-2| - ln|x+2|) + C\,$

$Description: = \frac{1}{4} ln|\frac{x-2}{x+2}| + C\,$

Rumus integrasi dasar

Umum

$Description: \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\,$ (n ≠ -1)

$Description: \int\frac{d}{dx}[f(x)]\,dx = f(x) + C\,$

$Description: \int(u+v)\,dx = \int u \,dx + \int v \,dx\,$

$Description: \int au\,dx = a \int u\, dx\,$ (a adalah konstanta)

$Description: \int \frac{dx}{x} = ln |x| + C\,$

$Description: \int a^x \,dx = \frac{a^x}{ln a} + C\,$ (a > 0, a ≠ 1)

$Description: \int \frac{dx}{x} = ln |x| + C$

Bilangan natural

$Description: \int e^u du= e^u + C\,$

Logaritma

$Description: \int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C$

Trigonometri

$Description: \int\sin x\,dx = -\cos x + C\,$

$Description: \int\cos x\,dx = \sin x + C\,$

$Description: \int\tan x\,dx = \ln |\sec x| + C\,$

$Description: \int\cot x\,dx = \ln |\sin x| + C\,$

$Description: \int\sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\,$

$Description: \int\csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C\,$

$Description: \int\sec^2 x\,dx = \tan x + C\,$

$Description: \int\csc^2 x\,dx = - \cot x + C\,$

$Description: \int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C\,$

$Description: \int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C\,$